\documentclass[spanish,a4paper]{article}

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\usepackage{enumerate}


\begin{document}
%\pagestyle{empty}

\input{parcialito2_tema2.tex}

\vspace{1cm}
\paragraph{1)a)} La funci'on y el $x_0$ est'an fijos, pues ya nos los dan en el enunciado. Usamos que:
$$f(x) \simeq f(x_0) + df \quad \text{si} \quad x \simeq x_0$$
Y recordemos que el diferencial a $f$ en $x_0$ era: $$df=f'(x_0)\Delta x \qquad \text{con} \quad \Delta x=x-x_0$$

Primero hay que averiguar para cual $x$ es $\text{ln}(0,\!9)=f(x)$:
\begin{align*}
\text{ln}(0,\!9) &=f(x) \\
\text{ln}(0,\!9) &=\text{ln}(x+2) \\
0,\!9 &=x+2 \\
-1,\!1 &=x \\
\end{align*}
Es decir que $x=-1,\!1$, y que adem'as se parece a $x_0=-1$. Entonces podemos usar la aproximaci'on:
\begin{align*}
\text{ln}(0,\!9) =f(-1,\!1) &\simeq f(x_0) + df \\
\text{ln}(0,\!9) =f(-1,\!1) &\simeq f(-1) + f'(-1)\left(-1,\!1-(-1)\right)\\
\text{ln}(0,\!9) &\simeq f(-1) + f'(-1)(-0,\!1)\\
\end{align*}

Falta calcular $f(-1)$ y $f'(-1)$:
$$f(-1)=\text{ln}(-1+2)=\text{ln}(1)=0$$
$$f'(x)=\dfrac{1}{x+2}$$
$$f'(-1)=\dfrac{1}{-1+2}=1$$

Luego:
\begin{align*}
\text{ln}(0,\!9) &\simeq f(-1) + f'(-1)(-0,\!1)\\
\text{ln}(0,\!9) &\simeq 0 + 1(-0,\!1)\\
\text{ln}(0,\!9) &\simeq -0,\!1\\
\end{align*}

\emph{Respuesta:} \fbox{$\text{ln}(0,\!9) \simeq -0,\!1$}

\paragraph{1)b)} La funci'on y el $x_0$ est'an fijos, pues ya nos los dan en el enunciado. Usamos que:
$$f(x) \simeq P_2 (x) \quad \text{si} \quad x \simeq x_0$$
Y recordemos que el polinomio de Taylor de orden 2 a $f$ en $x_0$ era:
$$P_2 (x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2$$

Exactamente igual que en el punto a) obtenemos que $x=-1,\!1$, y que se parece a $x_0=-1$. Entonces podemos usar la aproximaci'on:
\begin{align*}
\text{ln}(0,\!9) =f(-1,\!1) &\simeq P_2 (x)\\
\text{ln}(0,\!9) =f(-1,\!1) &\simeq f(-1)+f'(-1)(-1,\!1-(-1))+\frac{f''(-1)}{2!}(-1,\!1-(-1))^2\\
\text{ln}(0,\!9) &\simeq f(-1)+f'(-1)(-0,\!1)+\frac{f''(-1)}{2}(-0,\!1)^2\\
\end{align*}

Igual que en el punto a) calculamos que $f(-1)=0$ y que $f'(-1)=1$, falta calcular $f''(-1)$:
$$f''(x)=\left(\dfrac{1}{x+2}\right)'=\dfrac{-1}{(x+2)^2}$$
$$f''(-1)=\dfrac{-1}{(-1+2)^2}=-1$$

Luego:
\begin{align*}
\text{ln}(0,\!9) &\simeq f(-1)+f'(-1)(-0,\!1)+\frac{f''(-1)}{2}(-0,\!1)^2\\
\text{ln}(0,\!9) &\simeq 0+1(-0,\!1)+\frac{-1}{2}(-0,\!1)^2\\
\text{ln}(0,\!9) &\simeq -0,\!1-\frac{1}{2}\frac{1}{100}\\
\text{ln}(0,\!9) &\simeq -\frac{3}{200}\\
\end{align*}

\emph{Respuesta:} \fbox{$\text{ln}(0,\!9) \simeq -\frac{3}{200}$}

\paragraph{1)c)} Simplemente para que las cuentas queden m'as f'aciles, se podr'ia haber elegido $f(x)=\text{ln}(x)$ y $x_0=1$. Obviamente hay que respetar, para poder usar la aproximaci'on, que $x$ se parezca a $x_0$. En este caso como $\text{ln}(0,\!9) =f(0,\!9)$ entonces vale $x=0,\!9$ que se parece al $x_0=1$ elegido.

\vspace{0.5cm}
\paragraph{2)} Recordar que concavidad tiene que ver con el signo de la derivada segunda:
$$ f''>0 \qquad \text{entonces} \qquad f\,\text{es c\'oncava positiva} \quad \bigcup$$
$$ f''<0 \qquad \text{entonces} \qquad f\,\text{es c\'oncava negativa} \quad \bigcap$$

Antes que nada el $dom(f)=\mathbb{R}$ pues $f(x)=\dfrac{x^4}{12}+\dfrac{x^3}{6}-x^2 +x+10$ es un polinomio. Calculemos entonces la derivada segunda:
\begin{align*}
f'(x) &= 4 \dfrac{x^3}{12} + 3 \dfrac{x^2}{6} - 2x + 1 \\
f'(x) &= \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x +1 \\
f''(x) &= 3\dfrac{x^2}{3}+2\dfrac{x}{2}-2 \\
f''(x) &= x^2+x-2 \\
\end{align*}
Como tanto la derivada primera como la derivada segunda son polinomios, entonces sus dominios son todo $\mathbb{R}$ (conviene siempre calcularlos aunque no se pidan). Falta entonces encontrarle las raices (o ceros) a la derivada segunda:
\begin{align*}
f''(x) &= 0 \\
x^2+x-2 &= 0 \\
x=1 &,\;x=-2
\end{align*}

Entonces teniendo en cuenta los dominios de $f$, $f'$ y $f''$, y los ceros de $f''$, armamos la tablita:
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& (-\infty;-2) & -2 & (-2;1) & 1 & (1;+\infty) \\
\hline
f'' & & 0 & & 0 & \\
\hline
f & & & & &
\end{array}
$$

Luego elejimos un $x$ en cada intervalo y nos fijamos en signo de $f''$:
$$f''(-6)=(-6)^2+(-6)-2=\ldots=\,\text{positivo}$$
$$f''(0)=\ldots=\,\text{negativo}$$
$$f''(4)=\ldots=\,\text{positivo}$$

Entonces nos queda:
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& (-\infty;-2) & -2 & (-2;1) & 1 & (1;+\infty) \\
\hline
f'' & f''(-6)<0 & 0 & f''(0)>0 & 0 & f''(4)<0 \\
\hline
f & \bigcap & & \bigcup & & \bigcap
\end{array}
$$

Y adem\'as de la tabla observamos que en $x=-2$ y en $x=1$ la funci\'on $f$ tiene puntos de inflexi\'on \emph{ya que la concavidad cambia}. Para averiguar las ordenadas de los puntos de inflexi\'on, simplemente calculamos $f(-2)$ y $f(0)$ (en la funci'on original... no en la derivada segunda).

\emph{Respuesta:} \fbox{$dom(f)=\mathbb{R}$} 

\fbox{Concavidad positiva de $f$ en $(-2;1) \qquad$ Concavidad negativa de $f$ en $(-\infty;-2)$ y en $(1;+\infty)$}

\fbox{Puntos de inflexi'on de $f$ en $x=-2$ y en $x=1$}

\end{document}
